Cos'è un Infinito?
Definizione Formale
Una funzione \( f(x) \) si dice infinita per \( x \to x_0 \) (dove \( x_0 \) può essere un valore finito o \(\pm \infty\)) se il valore assoluto della funzione cresce arbitrariamente:
Il Concetto
In analisi matematica, "andare all'infinito" non significa raggiungere un numero, ma descrive un comportamento: la funzione supera qualsiasi soglia prefissata, per quanto grande essa sia.
Confronto tra Infiniti
Date due funzioni \( f(x) \) e \( g(x) \) che tendono entrambe a \(\infty\) per \( x \to x_0 \), il loro confronto avviene studiando il limite del rapporto:
\( L = \infty \): \( f(x) \) è un infinito di ordine superiore rispetto a \( g(x) \). Cresce molto più velocemente.
\( L = 0 \): \( f(x) \) è un infinito di ordine inferiore rispetto a \( g(x) \).
\( L = k \neq 0 \): Le funzioni sono infiniti dello stesso ordine. Crescono con la stessa "voracità".
\( L = 1 \): Le funzioni sono equivalenti (\( f(x) \sim g(x) \)).
La Gerarchia degli Infiniti
Esiste un ordine naturale di "velocità" con cui le funzioni tendono all'infinito per \( x \to +\infty \). Ecco lo specchietto definitivo:
| Logaritmica | \( \log_a(x) \) (Il più lento) |
| Potenza | \( x^n \quad (n > 0) \) |
| Esponenziale | \( a^x \quad (a > 1) \) |
| Fattoriale | \( n! \) |
| Super-Potenza | \( n^n \) (Il più veloce) |
Calcolo dei Limiti
Forme Indeterminate
Il confronto tra infiniti è l'arma segreta per risolvere la forma:
In un rapporto tra infiniti, il risultato è deciso dall'infinito di ordine superiore. Se è al numeratore il limite è \(\infty\), se è al denominatore il limite è \(0\).
Principio di Sostituzione
In una somma di infiniti, possiamo trascurare gli infiniti di ordine inferiore: