Cos'è un Infinitesimo?
Definizione Formale
Una funzione \( f(x) \) si dice infinitesima per \( x \to x_0 \) se il suo limite per \( x \) che tende a \( x_0 \) è pari a zero:
\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 \]
Applicazione
Gli infinitesimi sono fondamentali per il calcolo dei limiti. Sostituendo funzioni complesse con polinomi più semplici (infinitesimi equivalenti), possiamo risolvere forme indeterminate tipo \(\frac{0}{0}\) in pochi passaggi.
Teoria & Esperimenti
Scopri come l'Analisi Non Standard ha dato dignità ai "fantasmi" di Berkeley e come applicarla negli esperimenti di fisica.
Esplora il LabGerarchia di Infinitesimi
Quando due funzioni \( f(x) \) e \( g(x) \) sono entrambe infinitesime per \( x \to x_0 \), possiamo confrontarle studiando il limite del loro rapporto:
\[ L = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} \]
- Stesso ordine: Se \( L = k \neq 0, \infty \).
- Ordine superiore: Se \( L = 0 \). (f(x) "va a zero più velocemente").
- Ordine inferiore: Se \( L = \infty \). (f(x) "va a zero più lentamente").
- Equivalenti: Se \( L = 1 \). Scriveremo \( f(x) \sim g(x) \).
Tavola degli Equivalenti
Funzioni Circolari
\(\sin(x) \sim x\)
\(\tan(x) \sim x\)
\(1 - \cos(x) \sim \frac{x^2}{2}\)
\(\arcsin(x) \sim x\)
\(\arctan(x) \sim x\)
\(\tan(x) \sim x\)
\(1 - \cos(x) \sim \frac{x^2}{2}\)
\(\arcsin(x) \sim x\)
\(\arctan(x) \sim x\)
Per \( x \to 0 \)
Logaritmiche ed Esponenziali
\(\ln(1+x) \sim x\)
\(e^x - 1 \sim x\)
\((1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x\)
\(a^x - 1 \sim x \ln(a)\)
\(e^x - 1 \sim x\)
\((1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x\)
\(a^x - 1 \sim x \ln(a)\)
Per \( x \to 0 \)
Eserciziario Interattivo
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